Ανάλυση και σχεδίαση αλγορίθμων

Η πιο συχνή αιτία συγγραφής ενός νέου βιβλίου είναι η πίστη του συγγραφέα ότι κάτι νέο και χρήσιμο έχει να προσφέρει και το παρόν βιβλίο δεν αποτελεί εξαίρεση. Η εμφάνιση του βιβλίου κρίθηκε ότι θα ωφελήσει σημαντικά το αναγνωστικό κοινό επειδή γίνεται σαφής διάκριση ανάμεσα στις δυο πιο βασικές έννοιες της ανάλυσης αλγορίθμων, την πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης και την πολυπλοκότητα του ίδιου του αλγόριθμου. Αποτέλεσμα της σύγχυσης που επιφέρει η μη διάκριση των παραπάνω δυο βασικών εννοιών είναι η συχνή κακή χρήση των ασυμπτωτικών συμβόλων Ο, Θ και Ω. Η κάλυψη των παραπάνω ελλείψεων, οι οποίες κατά την άποψή μας αγγίζουν τα θεμέλια της "αλγοριθμικής", εισάγει αρκετές νέες έννοιες, οι οποίες επιφέρουν ριζικές αλλαγές στη μεθοδολογία αποδείξεων με συνέπεια οι περισσότερες απ' αυτές να γίνουν εξ' ολοκλήρου από την αρχή. Ως εκ' τούτου, είναι πιθανόν να υπάρχουν μικρολάθη και μικροπαραλήψεις. [...]

Εισάγεται η μεθοδολογία των τμημάτων ψευδοκώδικα. Τα τμήματα αυτά διαμερίζουν τον ψευδοκώδικα του αλγορίθμου. Η ανάλυσης πολυπλοκότητας θεμελιώνεται ξεκινώντας από τμήματα των οποίων ο χρόνος εκτέλεσης είναι ανεξάρτητος από τα μεγέθη του προβλήματος. Ο χρόνος αυτός είναι της τάξης Θ(1). Τονίζουμε εδώ ότι δεν είναι ακριβές να θεωρείται ότι ο χρόνος αυτός είναι της τάξης Θ(1), αφού το σύνολο συναρτήσεων Θ(1) είναι πολύ πιο γενικό από το σύνολο Θ(1). Φυσικά ο υπολογισμός της πολυπλοκότητας δεν είναι τίποτε άλλο από την εκτίμηση του συνολικού πλήθους των επαναλήψεων όλων των τμημάτων του ψευδοκώδικα. Επειδή όλη η θεμελίωση γίνεται ξεκινώντας από χρόνους τάξης Θ(1), η συντριπτική πλειοψηφία των αποδείξεων που περιέχονται στο βιβλίο γίνεται για πρώτη φορά.

Η θεμελίωση που ακολουθείται στο βιβλίο αποκαλύπτει αμέσως ότι το σύνολο των αλγορίθμων δια μερίζεται σε δύο υποσύνολα τους ομογενείς και τους μη ομογενείς αλγόριθμους. Οι ομογενείς αλγόριθμοι συμπεριφέρονται ομοιόμορφα σε κάθε στιγμιότυπο και σε αντίθεση με τους μη ομογενείς αλγόριθμους δεν εμφανίζουν χειρότερη και καλύτερη περίπτωση (και φυσικά μέση περίπτωση). Η πολυπλοκότητα αλγορίθμου είναι μια περιγραφή του υπολογιστικού έργου έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνονται όλα τα στιγμιότυπα. [...]