Διανυσματικός Λογισμός

Ο Ισαάκ Νεύτωνας, ένας από τους μεγαλύτερους επιστήμονες και μαθηματικούς της ιστορίας, δημιούργησε την έννοια του διανύσματος συλλαμβάνοντας τις δυνάμεις ως διανυσματικές οντότητες. Στο αριστούργημά του Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, χρησιμοποιώντας αυτές τις διανυσματικές έννοιες, ο Νεύτωνας έδειξε ότι από την ύπαρξη μιας βαρυτικής δύναμης προκύπτει η κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο, καθώς και η κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη. Η πραγματική φύση αυτής της βαρυτικής δύναμης, καθώς και η ίδια η δημιουργία του σύμπαντος, παραμένουν ένα μυστήριο.
Αυτός είναι ο λόγος που το εξώφυλλο του βιβλίου αναπαριστά τη φαντασμαγορική εναρκτήρια σκηνή του κινηματογραφικού αριστουργήματος του Στάνλεϋ Κιούμπρικ 2001: Η οδύσσεια του διαστήματος, μιας ταινίας που διερευνά, ανάμεσα σε άλλα ζητήματα, ιδέες σχετικά με την εξέλιξη του ανθρώπου και το αίνιγμα της δημιουργίας. Τα μαθηματικά, και ιδιαίτερα ο διανυσματικός λογισμός, είναι το βασικό επιστημονικό εργαλείο που μας επιτρέπει να εξερευνήσουμε την απαρχή και την εξέλιξη του χώρου και του χρόνου, καθώς και την προέλευση της βαρύτητας, του ηλεκτρομαγνητισμού και των πυρηνικών δυνάμεων.

Ορισμένα στοιχεία της 6ης διεθνούς έκδοσης:
• Ριζικά αναθεωρημένη σχεδίαση. Η σύγχρονη νέα δομή του βιβλίου αναδεικνύει τα παιδαγωγικά χαρακτηριστικά του, κάνοντας το κείμενο πιο συνοπτικό, φιλικό προς των αναγνώστη και προσιτό.
• Προσθήκη νέων ασκήσεων. Οι βασικές έννοιες της θεωρίας επικουρούνται από περισσότερες ασκήσεις πρακτικής εξάσκησης ώστε να διευκολυνθεί η εμπέδωσή τους.
• Αναβαθμισμένη εικονογράφηση. Η ποιότητα των σχημάτων έχει βελτιωθεί σημαντικά, ιδιαίτερα για τα θεμελιώδη τριδιάστατα σχήματα, ώστε να διασαφηνίζονται καλύτερα οι βασικές έννοιες της θεωρίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος
Ευχαριστίες

Ιστορική εισαγωγή: Μια σύντομη ιστορική αναδρομή

Προαπαιτούμενα και συμβολισμός

1 H γεωμετρία του ευκλείδειου χώρου
1.1 Διανύσματα στον διδιάστατο και τριδιάστατο χώρο
1.2 Το εσωτερικό γινόμενο, το μήκος και η απόσταση
1.3 Πίνακες, ορίζουσες και εξωτερικό γινόμενο
1.4 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες
1.5 ??-διάστατος ευκλείδειος χώρος
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 1

2 Παραγώγιση
2.1 Η γεωμετρία των πραγματικών συναρτήσεων
2.2 Όρια και συνέχεια
2.3 Παραγώγιση
2.4 Εισαγωγή στις διαδρομές και τις καμπύλες
2.5 Ιδιότητες της παραγώγου
2.6 Κλίση και κατά κατεύθυνση παράγωγοι
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 2

3 Παράγωγοι υψηλότερης τάξης: σημεία μεγίστου και ελαχίστου
3.1 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
3.2 Το θεώρημα του Taylor
3.3 Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων
3.4 Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange
3.5 Το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων [προαιρετική ενότητα]
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 3

4 Διανυσματικές συναρτήσεις
4.1 Επιτάχυνση και δεύτερος νόμος του Νεύτωνα
4.2 Μήκος τόξου
4.3 Διανυσματικά πεδία
4.4 Απόκλιση και στροβιλισμός
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 4

5 Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα
5.1 Εισαγωγή
5.2 Το διπλό ολοκλήρωμα επί ορθογωνίου
5.3 Το διπλό ολοκλήρωμα επί γενικότερων χωρίων
5.4 Αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης
5.5 Το τριπλό ολοκλήρωμα
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 5

6 Ο τύπος αλλαγής μεταβλητών και εφαρμογές της ολοκλήρωσης
6.1 Η γεωμετρία των απεικονίσεων από το ?2 στο ?2
6.2 Το θεώρημα αλλαγής μεταβλητών
6.3 Εφαρμογές
6.4 Καταχρηστικά ολοκληρώματα [προαιρετική ενότητα]
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 6

7 Ολοκληρώματα επί διαδρομών και επιφανειών
7.1 Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1ου είδους
7.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα 2ου είδους
7.3 Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες
7.4 Εμβαδόν επιφάνειας
7.5 Ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων επί επιφανειών
7.6 Επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων
7.7 Εφαρμογές στη διαφορική γεωμετρία, τη φυσική και τις μορφές ζωής
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 7

8 Τα ολοκληρωτικά θεωρήματα της διανυσματικής ανάλυσης
8.1 Θεώρημα του Green
8.2 Θεώρημα του Stokes
8.3 Συντηρητικά πεδία
8.4 Θεώρημα του Gauss
8.5 Διαφορικές μορφές
Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 8

Απαντήσεις ασκήσεων περιττού αριθμού

Ευρετήριο